Một số mô hình toán học mô phỏng quá trình gia tăng dân số

648

Bài viết này giới thiệu đại khái khái niệm vi phân và phương trình vi phân bậc nhất trong toán học. Mục tiêu chính cuả bài viết là giới thiệu ứng dụng cuả chúng trong việc mô hình hoá quá trình gia tăng dân số. Để đưa ra những phân tích và dự báo phù hợp với nhiều bài toán thực tế, trong rất nhiều trường hợp những người làm phân tích dữ liệu cần nắm vững một số công cụ toán học cơ bản và nâng cao.

1. Hàm số và đạo hàm

Trước tiên, ta giới thiệu một cách nôm na khái niệm hàm số và đạo hàm của hàm số. Hàm số là một khái niệm toán học mô tả mối liên hệ giữa các đại lượng. Ví dụ, nếu \(t\) là thời gian và \(s\) là quãng đường một vật đi được trong một khoảng thời gian nào đó thì \(s\) phụ thuộc vào \(t\) và ta viết \(s(t)\). Hoặc, nếu \(p\) là giá căn hộ chung cư ở một thành phố và giả sử nó phụ thuộc vào diện tích \(x_1\) và vị trí \(x_2\) của căn hộ thì ta có thể mô tả \(p(x_1, x_2)\). Ở trong hai ví dụ trên, \(s\) là hàm một biến vì nó chỉ phụ thuộc vào một biến số \(t\), còn \(p\) là hàm hai biến, phụ thuộc đồng thời vào hai biến số \(x_1\) và \(x_2\). Trong thực tế cuộc sống, các đại lượng ta quan tâm thường là các hàm số với rất nhiều biến số khác nhau, và thông thường giá trị của chúng bị chi phối bởi các yếu tố ngẫu nhiên.

Đạo hàm là khái niệm toán học cơ bản, thường được giới thiệu cho học sinh ở cấp trung học phổ thông. Nói một cách đại khái, đạo hàm được sử dụng để đo tốc độ thay đổi của các hàm số. Ví dụ, nếu \(s(t)\) là quãng đường đi được của một vật thể chuyển động ứng với thời gian \(t\) thì \(s'(t)\) là tốc độ thay đổi của quãng đường đo ở hai thời điểm \(t\) và \(t\) + \(∆t\). Nếu \(∆t\) đủ bé thì \(s'(t)\) chính là vận tốc tức thời của vật thể tại thời điểm \(t\). Ta có thể viết:

\(\begin{align*}
v(t) &= \frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t} \\
&= s'(t), \text{khi }\Delta t\text{ đủ bé}
\end{align*}\)

Tương tự, nếu ta đo tốc độ thay đổi của vận tốc \(v(t)\) theo thời gian thì ta dùng gia tốc:

\(\begin{align*}
a(t) &= \frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t} \\
&= v'(t), \text{khi }\Delta t\text{ đủ bé}\\
&= {s}”(t)
.\end{align*}\)

Nói cách khác, gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. Nếu gia tốc càng lớn thì vận tốc thay đổi càng nhanh. Chú ý rằng thay đổi có thể theo hai chiều hướng tăng hoặc giảm: nếu vận tốc tăng theo thời gian thì gia tốc có giá trị dương, còn nếu vận tốc giảm theo thời gian thì gia tốc có giá trị âm. Khi vật thể chuyển động đều, vận tốc không thay đổi thì gia tốc bằng không. Cũng chú ý rằng gia tốc là đạo hàm bậc hai của quãng đường theo thời gian.

2. Số lượng cá thể cuả một quần thể

Tiếp theo, ta xét một quần thể thực thể sống bất kì, thường là quần thể động vật, thực vật hay loài người. Ta quan tâm tới việc mô phỏng số lượng cá thể tại một thời điểm \(t\) nào đó, kí hiệu là \(P(t)\). Tại thời điểm ban đầu, số lượng cá thể là \(P(0) = P_0\).

Có hai yếu tố ảnh hưởng tới \(P(t)\) ở mỗi thời điểm. Một là số lượng thực thể được sinh ra, kí hiệu là \(B(t)\). Hai là số lượng cá thể chết đi, kí hiệu là \(D(t)\). Ta có thể sử dụng một giả định đơn giản để xấp xỉ các đại lượng \(B(t)\) và \(D(t)\) là chúng tỉ lệ thuận với \(P(t)\) tương ứng với các hằng số \(r_b\) và \(r_d\) cố định nào đó, nghĩa là:

\begin{align*}B(t) &= r_bP(t) \\ D(t) &= r_dP(t) \end{align*}

Ở mỗi thời điểm \(t\), sự sai khác về dân số của quần thể có thể được mô tả bằng một phương trình vi phân sau:

\begin{align*}P'(t) &= B(t) –  D(t)\\ &= r_bP(t) – r_dP(t)\\ &= (r_b – r_d)P(t) .\end{align*}

Nếu kí hiệu độ chênh lệch giữa hai tỉ lệ là \(r\) thì ta có

\begin{align*}P'(t) &=  rP(t).\end{align*}

Chú ý rằng \(P'(t)\) là đạo hàm (hay vi phân) bậc nhất của hàm số \(P(t)\). Với điều kiện ban đầu \(P(0) = P_0\), nghiệm của phương trình vi phân này chính là hàm mũ với cơ số \(e\):

\begin{equation*}P(t) = P_0 e^{rt}.\end{equation*}

Hình 1: Ba kịch bản thay đổi dân số theo thời gian.

Hình 1 hiển thị ba kịch bản thay đổi dân số theo thời gian. Nếu tỉ lệ \(r\) > 0 thì dân số tăng dần, còn nếu \(r\) < 0 thì dân số giảm dần. Về mặt trực quan, điều này là hợp lí – nếu tỉ lệ sinh lớn hơn tỉ lệ chết thì dân số sẽ tăng dần; còn nếu tỉ lệ sinh nhỏ hơn tỉ lệ chết thì dân số sẽ giảm dần. Dân số sẽ giữ nguyên nếu \(r\) = 0.

Mô hình dân số ở trên có một điểm chưa phù hợp với thực tế, đó là dân số có thể gia tăng mãi mãi hoặc giảm mãi mãi. Để tăng tính hợp lí của mô hình, ta có thể thêm giả định là dân số bị chặn bởi một ngưỡng \(C\) nào đó, khi dân số càng gần tới ngưỡng thì tốc độ \(r\) càng bé. Điều này là phù hợp, vì khi dân số ngày càng đông thì tính cạnh tranh trong mọi vấn đề (nguồn thức ăn, tính sinh tồn, v.v.) ngày càng cao. Những yếu tố này ảnh hưởng trực tiếp đến tốc độ \(r\). Ta có thể lấy một ví dụ thực tế về sự thay đổi của dân số thế giới theo một số mốc thời gian, như trong Hình 2.

Hình 2: Sự thay đổi cuả dân số thế giới tại một số mốc thời gian.

Ta thấy mặc dù dân số có xu hướng tăng dần theo thời gian nhưng tốc độ tăng lại không giống nhau trong mỗi giai đoạn, và đang có xu hướng giảm dần. Như trong Hình 3, trong 70 năm đầu tiên của thế kỉ 20, dân số tăng rất mạnh với tỉ lệ cao nhất là 2.1%, sau đó bắt đầu xu hướng giảm, và dự kiến tới năm 2100 thì chỉ tăng cỡ 0.1% hàng năm.

Hình 3: Tỉ lệ gia tăng dân số thế giới từ khoảng giữa thế kỉ 20.

Trong mô hình dân số cuả quần thể là bị chặn, ta có mô phỏng sau:

\begin{equation*}
r = v \left (1 – \frac{P}{C} \right ).
\end{equation*}

Nói cách khác khi \(P\) tiến dần tới \(C\) thì \(r\) tiến dần về 0. Trong mô hình mới này, ta có

\begin{equation}
P'(t) = v \left (1 – \frac{P}{C} \right ) P(t). \label{eq:2}
\end{equation}

Nghiệm của phương trình vi phân này là một hàm logistic:

\begin{equation*}
P(t) = \frac{C}{1 + K e^{-vt}}, \text{ với } K = \frac{C – P_0}{P_0}.
\end{equation*}

Hình 4 hiển thị ba kịch bản thay đổi dân số theo thời gian trong trường hợp này. Khi \(P_0\)< \(C\) thì dân số tăng dần và tiến dần tới \(C\). Còn khi \(P_0\) > \(C\) thì dân số giảm dần và cũng tiến dần về \(C\).

Hình 4: Ba kịch bản thay đổi dân số theo thời gian khi có ngưỡng chặn.

3. Kết luận

Trong bài viết ngắn này, chúng ta đã tìm hiểu sơ bộ ứng dụng của một số kiến thức toán học cơ bản về phương trình vi phân bậc nhất để mô phỏng sự thay đổi theo thời gian của một số đại lượng cần phân tích, như dân số của một quần thể. Trong bài viết tiếp theo, chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu một số mô hình sử dụng các kiến thức cơ bản về đạo hàm và phương trình vi phân như các mô hình lan truyền dịch bệnh, mô hình thú và mồi. Một số mô hình có lời giải dưới dạng giải tích, do đó việc mô phỏng là dễ dàng. Một số mô hình cần được rời rạc hoá và giải xấp xỉ sử dụng một số công cụ toán học cơ bản trong giải tích, giải số phương trình vi phân và khoa học máy tính.

Lê Hồng Phương
Phòng Thí nghiệm Khoa học Dữ liệu, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội 

Phần 1: Google xếp hạng các trang web như thế nào?

Tin liên quan:
  • 81
    Shares